A. PENDAHULUAN
Pada tahun 1654, seorang penjudi yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.
B. KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Pengisian Tempat
Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya. Andi mempunyai tiga buah baju dua buah celana.
Baju : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut perhatikan uraian berikut:
Dari kedua cara tersebut menghasilkan banyaknya pasangan celana dan baju yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}
kedua cara tersebut bisa digunakan untuk menghitung dalam jumlah terbatas, untuk perhitungan yang lebih rumit dapat menggunakan aturan pengisian tempat sebagai berikut:
2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1
Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.
1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
7! 7×6×5×4×3×2×1
3. —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
4! 4×3×2×1
3. Permutasi
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia.
5
|
x
|
4
|
x
|
3
|
Kotak (a) dapat diisi dengan 5 calon
karena calonnya ada 5
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 calon karena 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) dapat diisi dengan 3 calon karena 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya.
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas adalah 5 × 4 × 3 = 60.
Susunan semacam ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Permutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
dinotasikan dengan P(5.3) atau 5P3, sehingga:
5P3 = 5 × 4 × 3
= 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
= 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau dapat juga ditulis:
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x ——————————
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =——————————————————————————
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
n!
nPr =————
(n – r)!
Contoh 5:
Akan disusun berjajar bendera negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 240
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.
Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2
4!
unsur sama ditulis: ——
2!
Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
n!
P = ————
k! l! m!
Contoh 6:
Berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA?
Penyelesaian:
MATEMATIKA
Banyak huruf =10
banyak M = 2
banyak A =3
banyak T = 2
10! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
P = ———— = —————————————————
2! 3! 2! 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
3628800
P = ———— = 151200
24
Banyaknya kata yang dapat dibentuk ada 151200 kata
c. Permutasi Siklis
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Dari gambar 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Dari gambar 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:
P= (n - 1)!
Contoh 7:
Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?
Penyelesaian:
Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,
Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!
Dua orang yang berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 6! x 2!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 1440
4. Kombinasi
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
= 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
= 3 karena urutan tidak diperhatikan
6 permutasi
Kombinasi = 3 =—— = ——————
2 2
Jadi kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
3P2 3!
3C2 = —— = ————
2 2! (3 − 2)!
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil r unsur
n
ditulis dengan C atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
r
P n!
nCr =———— = ————
r! (n - r)! r!
Perhatikan simulasi berikut!
Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih memahami tentang kombinasi.
Contoh 8:
1. Hitunglah nilai dari:
a. 8C4
b. 6C2 × 4C3
Penyelesaian:
8! 8! 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
a. 8C4 =———— =——— =———————————— = 70
(8 - 4)! 4! 4! 4! 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1
6! 4! 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4 x 3 x 2 x 1
b. 6C2 × 4C3 =———— x ———— =————————— x —————= 70
(6 - 2)! 2! (4 - 3)! 3! 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 1 x 3 x 2 x 1
Contoh 9: Perhatikan video berikut!
Penyelesaian:
10!
10C3 =—————
(10 - 3)! 3!
10!
=—————
7! 3!
10 x 9 x 8 x 7!
=——————
7! 3 x 2 x 1
720
=———
6
= 120
Contoh 10:
Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
8! 8 . 7 . 6 ! 56
8C2 =———— = ———— = —— = 28
(8 - 2)! 2! 6! . 2. 1 2
b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
6! 6 . 5 . 4 ! 30
6C2 =———— = ———— = —— = 15
(6 - 2)! 2! 4! . 2. 1 2
c. Ganda campuran berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:
8! 6! 8! 6!
8C1 x 6C1 =———— x ———— = —— x —— = 8 x 6 = 48
(8 - 1)! 1! (6 - 1)! 1! 7! 5!
Contoh 11:
Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?
Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara memilih 5 putra =7C5
Banyak cara memilih 4 putra 1 putri =7C4 . 3C1
Banyak cara memilih 3 putra 2 putri =7C3 . 3C2
Banyak cara = 7C5 + 7C4 . 3C1 + 7C3 . 3C2
7! 7! 3! 7! 3!
= ———— + ———— x ———— + ———— x ————
(7 - 5)! 5! (7 - 4)! 4! (3 - 1)! 1! (7 - 3)! 3! (3 - 2)! 2!
7 . 6 . 5! 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1
= ———— + ————— x ——— + ————— x ————
2 . 1 . 5! 3 . 2 . 1 . 4! 2 . 1 4! . 3 . 2 . 1 2 . 1
= 105 + 105 + 21 = 231
Jadi banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 calon karena 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) dapat diisi dengan 3 calon karena 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya.
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas adalah 5 × 4 × 3 = 60.
Susunan semacam ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Permutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
dinotasikan dengan P(5.3) atau 5P3, sehingga:
5P3 = 5 × 4 × 3
= 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
= 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau dapat juga ditulis:
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x ——————————
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
nPr =——————————————————————————
(n – r) (n – r – 1) … 3.2.1
n!
nPr =————
(n – r)!
Contoh 5:
Akan disusun berjajar bendera negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 240
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.
Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2
4!
unsur sama ditulis: ——
2!
Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
n!
P = ————
k! l! m!
Contoh 6:
Berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA?
Penyelesaian:
MATEMATIKA
Banyak huruf =10
banyak M = 2
banyak A =3
banyak T = 2
10! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
P = ———— = —————————————————
2! 3! 2! 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
3628800
P = ———— = 151200
24
Banyaknya kata yang dapat dibentuk ada 151200 kata
c. Permutasi Siklis
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Dari gambar 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Dari gambar 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:
P= (n - 1)!
Contoh 7:
Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?
Penyelesaian:
Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,
Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!
Dua orang yang berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 6! x 2!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
= 1440
4. Kombinasi
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
= 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
= 3 karena urutan tidak diperhatikan
6 permutasi
Kombinasi = 3 =—— = ——————
2 2
Jadi kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
3P2 3!
3C2 = —— = ————
2 2! (3 − 2)!
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil r unsur
n
ditulis dengan C atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
r
P n!
nCr =———— = ————
r! (n - r)! r!
Perhatikan simulasi berikut!
Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih memahami tentang kombinasi.
Contoh 8:
1. Hitunglah nilai dari:
a. 8C4
b. 6C2 × 4C3
Penyelesaian:
8! 8! 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
a. 8C4 =———— =——— =———————————— = 70
(8 - 4)! 4! 4! 4! 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1
6! 4! 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4 x 3 x 2 x 1
b. 6C2 × 4C3 =———— x ———— =————————— x —————= 70
(6 - 2)! 2! (4 - 3)! 3! 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 1 x 3 x 2 x 1
Contoh 9: Perhatikan video berikut!
Penyelesaian:
10!
10C3 =—————
(10 - 3)! 3!
10!
=—————
7! 3!
10 x 9 x 8 x 7!
=——————
7! 3 x 2 x 1
720
=———
6
= 120
Contoh 10:
Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
8! 8 . 7 . 6 ! 56
8C2 =———— = ———— = —— = 28
(8 - 2)! 2! 6! . 2. 1 2
b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:
6! 6 . 5 . 4 ! 30
6C2 =———— = ———— = —— = 15
(6 - 2)! 2! 4! . 2. 1 2
c. Ganda campuran berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:
8! 6! 8! 6!
8C1 x 6C1 =———— x ———— = —— x —— = 8 x 6 = 48
(8 - 1)! 1! (6 - 1)! 1! 7! 5!
Contoh 11:
Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?
Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara memilih 5 putra =7C5
Banyak cara memilih 4 putra 1 putri =7C4 . 3C1
Banyak cara memilih 3 putra 2 putri =7C3 . 3C2
Banyak cara = 7C5 + 7C4 . 3C1 + 7C3 . 3C2
7! 7! 3! 7! 3!
= ———— + ———— x ———— + ———— x ————
(7 - 5)! 5! (7 - 4)! 4! (3 - 1)! 1! (7 - 3)! 3! (3 - 2)! 2!
7 . 6 . 5! 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1
= ———— + ————— x ——— + ————— x ————
2 . 1 . 5! 3 . 2 . 1 . 4! 2 . 1 4! . 3 . 2 . 1 2 . 1
= 105 + 105 + 21 = 231
Jadi banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara
B. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul ketika sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Jadi banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang huruf S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2
2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh 14:
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
a. jumlah kedua dadu 10
b. selisih kedua dadu 3
c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1
d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat jawaban contoh 13.
a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Jadi banyaknya kejadian ada 3
b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
Jadi banyaknya kejadian ada 6
c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
Jadi banyaknya kejadian ada 2
d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
Jadi banyaknya kejadian ada 5
1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul ketika sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Jadi banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang huruf S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2
2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh 14:
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
a. jumlah kedua dadu 10
b. selisih kedua dadu 3
c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1
d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat jawaban contoh 13.
a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Jadi banyaknya kejadian ada 3
b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
Jadi banyaknya kejadian ada 6
c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
Jadi banyaknya kejadian ada 2
d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
Jadi banyaknya kejadian ada 5
C. PELUANG SUATU KEJADIAN
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
Contoh:
Andi mengikuti acara Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor?
Penyelesaian:
S = semua peserta jalan santai
maka n(S) = 1000
Misal kejadian Andi mendapatkan motor adalah A.
A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5}
maka n(A) = 5
n(A) 5 1
P(A) = ——— = ——— = ——
n(S ) 1000 200
1
Jadi peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor ——
200
2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh 18:
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A
A = { }, n(A) = 0
n(A) 0
P(A) = ——— = — = 0
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
n(B) 6
P(B) = ——— = — = 1
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1
Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
Fh = n × P(A)
Contoh 19:
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
n(A) 3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali
n(S) 8
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
A adalah kejadian keluar nomor dadu ganjil
A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
n(A) 3 1
P(A) = ——— =—— = —
n(S ) 6 2
b. B adalah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1
P(B) = ——— =—— = — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
n(A)
P(A) = ———
n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S
Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.
Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
A = {GGG}, maka n(A) = 1
n(A) 1
P(A) = ——— =——
n(S ) 8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
n(B) 3
P(B) = ——— =——
n(S ) 8
Contoh:
Andi mengikuti acara Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor?
Penyelesaian:
S = semua peserta jalan santai
maka n(S) = 1000
Misal kejadian Andi mendapatkan motor adalah A.
A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5}
maka n(A) = 5
n(A) 5 1
P(A) = ——— = ——— = ——
n(S ) 1000 200
1
Jadi peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor ——
200
2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh 18:
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A
A = { }, n(A) = 0
n(A) 0
P(A) = ——— = — = 0
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
n(B) 6
P(B) = ——— = — = 1
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1
Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1
3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
Fh = n × P(A)
Contoh 19:
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
n(A) 3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali
n(S) 8
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
A adalah kejadian keluar nomor dadu ganjil
A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
n(A) 3 1
P(A) = ——— =—— = —
n(S ) 6 2
b. B adalah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1
P(B) = ——— =—— = — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)
5. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B)
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)